BAB
I
PEMBAHASAN
TEORI
1.1 PENGERTIAN RISET OPERASI
Riset Harus
menggunakan metode ilmiah
Operasi Yang
berhubungan dengan proses /
berlangsungnya suatu kejadian.
Tujuan
: membantu manajemen untuk menentukan
kebijakan atau tindakan secara ilmiah
Riset
Operasi adalah metode untuk memformulasikan dan merumuskan permasalahan
sehari-hari baik mengenai bisnis, ekonomi, sosial maupun bidang lainnya ke
dalam pemodelan matematis untuk mendapatkan solusi yang optimal.
Program
linear adalah salah satu model matematika yang digunakan untuk menyelesaikan
masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang
bergantung pada sejumlah variabel input.
Hal
terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian
masalah dan apa penyebab masalah tersebut.
Dua macam fungsi Program Linear:
Ø Fungsi tujuan : mengarahkan
analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah
Ø Fungsi kendala : untuk mengetahui
sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.
2.1
MODEL DUA VARIABEL DAN GRAFIK PEMECAHANNYA
Dalam bagian ini, kami
memperkenalkan sebuah model LP sederhana dengan dua variable keputusan dan
memperlihatkan bagaimana model ini dapat dipecahkan secara grafis.
Contoh :Reddy Mikks Company memiliki
sebuah pabrik kecil yang menghasilkan cat, baik untuk interior mauoun eksterior
untuk di distribusikan kepada para grosir. Dua bahan mentah, A dan B, di
perrgunakan untuk membuat cat tersebut. Keterdiaan A maksimum adalah 6 ton satu
hari, ketersediaan B adalah 8 ton satu hari.Kebutuhan harian akan bahan mentah
per ton cat interior dan eksterior di ringkaskan dalam tabel berikut ini.
|
Ton Bahan Mentah
|
|||
|
Per Ton Cat
|
Ketersediaan Maksimum
|
||
|
Eksterior
|
Interior
|
(Ton)
|
|
|
Bahan Mentah A
|
1
|
2
|
6
|
|
Bahan Mentah B
|
2
|
1
|
8
|
Sebuah survey pasar telah
menetapkan bahwa permintaan harian akan cat interior tidak akan lebih dari 1
ton lebih tinggi dibandingkan permintaan akan cat eksterior. Survey tersebut
juga memperlihatkan bahwa permintaan maksimum akan cat interior adalah terbatas
pada 2 ton per hari. Harga grosir perton adalah $3000 untuk cat eksterior dan
$2000 untuk cat interior.Berapa banyak cat interior dan eksterior yang harus di
hasilkan perusahaan tersebut setiap hari untuk memaksimumkan pendapatan kotor?
Pengembangan Model
Matematis
Pengembangan model matematis
dapat di mulai dengan menjawab ketiga pertanyaan berikut ini:
1.
Apa yang di usahakan untuk di tentukan oleh model tersebut? Dengan kata
lain, apa Variabel (yang tidak dapat di ketahui) dari masalah tersebut?
2.
Apa batasan yang harus di kenakan atas variabel untuk memenuhi batasan
system yang di model tersebut?
3.
Apa tujuan (sasaran) yang harus di capai untuk menentukan pemecahan
optimum (terbaik) dari semua nilai yang layak dari semua variabel tersebut?
Cara yang efektif untuk menjawab pertanyaan –pertanyaan
ini adalah memberikan ringkasan verbal untuk masalah yang brsangkutan. Dalam
contoh redy mikks, situasinya di jabarkan sebagai berikut: perusahaan berusaha
menentukan jumlah (dalam ton) cat interior dan eksterior yang harus di produksi
untuk memaksimumkan (menaikan sebanyak mungkin sebagai mana layak) pendapatan
bruto total (dalam ribuan dollar) sambil memnuhi batasan permintaan penggunaan
bahan mentah.
Kesulitan dasar dari model matematis adalah pertama-tama
mengidentifikasikan variable dan lalu mengungkapkan tujuan dan batasan sebagai
fungsi matematis dari variabel-variabel tersebut. Jadi, untuk masalh reddy
mikks, kita memnuhi yang berikut ini:
xE = jumlah ton cat eksterior yang di
produksi setiap hari
Xi = jumlah ton cat interior yang di
produksi setiap hari
Fungsi tujuan: Karena setiap ton cat eksterior di jual dengan
harga $3000, pendapatan kotor dari penjualan xE ton adalah 3xE ribu dollar.
Demikian pula, pendapatan kotor dari xi ton cat interior adalah 2xi ribu
dollar. Berdasarkan asumsi bahwa penjualan cat interior dan eksterior adalah
independen, pendapatan bruto total menjadi penjumlahan dari kedua pendapatan
tersebut.
Jika kita menyatakan z untuk
mewakili pendapatan kotor total (dalam ribuan dollar), fungsi tujuan tersebut
dapat di tulis secara matematis sebagai z = 3xE + 2xI..sasaranya
adalah menentukan nilai xE dan xI (yang layak) yang akan memaksimumkan kriteria
ini.
Batasan ppengenaan
Reddy Mikks mengenakan batasan atas penggunaan bahan mentah dan atas
permintaan. Batasan penggunaan dapat di ekpresikan secara verbal sebagai
 |
 |
 |
 |
Penggunaan bahan mentah ≤ ketersediaan bahan
Oleh kedua cat Mentah maksimum
Ini
mengarah pada batasan berikut (lihat data untuk masalah ini):
xE + 2xI ≤ 6 (bahan
mentah A)
2xE +
xI ≤ 8 (bahan
mentah B )
Batasan
permintaan di ekspresikan secara verbal sebagai
Jumlah kelebihan cat interior
Di
bandingkan cat eksterior ≤
1 ton per hari
(permintaan akan cat interior) ≤ 2 ton per hari
Secara
matematis kedua batasan tersebut di ekspresikan secara berturut-turut sebagai
xI – xE ≤ 1 (kelebihan
cat interior di bandingkan cat eksterior)
xI ≤ 2 (permintaan
maksimum akan cat interior)
Batasan implisit
(atau “yang harus du mengerti”) adalah bahwa jumlah yang di produksi untuk
setiap cat tidak dapat negative (kurang dari nol). Utk menghindari memperoleh
pmecahan seperti itu, kita menggunakan batasan
non negativitas, yyang secara
normal di tulis sebagai
xI ≥ 0 (cat interior)
xE ≥ 0 (cat eksterior)
nilai-nilai
variabel xE dan xI di katakana merupakan pecahan yang layak jika memenuhi semua
batasan dari model ini, termasuk batasan nonnegativitas.
Model matematis
yang lengkap untuk masalah Reddy Mikks sekarang dapat di rungkas sebagai
berikut:Secara teknis
ini merupakan program linier, karena semua fungsinya (batasan dan tujuan) adalah linier.
Linieritas menyiratkan bahwa proposionalitas mauoun aditivitas di penuhi.
2.1-1 PEMECAHAN
GRAFIK DARI MODEL LP
Model LP Reddy Mikks dapat
di pecahkan secara grafik karena hanya memiliki dua variabel.untuk model-model
dengan tiga variabel atau lebih tidak praktis.
Langkah pertama dalam metode
grafik adalah menggambar ruanag emecahan yang memenuhi semua batasan secara
bersamaan.Gambar 2-1 menunujukan ruang pemecahan yang di persyaratkan. Batasan
non negativitas xE ≥ 0 dan 2xI ≥ 0 membatasi semua niilai-nilai yang layak pada
kuadran pertama. Bidang yang di tutup batsan-batsan lainya di tentukan
pertama-tama dengan mengganti (≤) dengan (=) untuk setiap batasan, sehingga
menghasilkan persamaan garis lurus. Setiap garis lurus lalu di gambar di bidang
(xE, xI), dan bidang di mana setip batasan berlaku ketika pertidak samaan
batasan terebut di perlakukan menunjukan dengan arah panah dengan garis lurus
yang bersangkutan. Satu cara yang mudah untuk menentukan arah panah tersebut
adalah dengan menggunakan titik asal (0,0) sebagai titik rujukan. Jika (0,0)
memenuhi pertidak samaan tersebut, arah yang layak akan memenuhi titik asal
tersebut. Jika tidak panah itu akan mengarah ke sisi yang sebaliknya. Misalnya,
(0,0) memenuhi pertidak samaan –xE + xI ≤ 1, yang berarti bahwa pertidak samaan
tersebut adalah layak di (separuh) bidang yang mencakup titik asal tersebut.
Jika sebuah batasn kebetulan berpotongan di titik asal, titik rujukan yang tidak berada pada garis
lurus yang bersangkutan harus di pilih. Dengan menerapkan prosedur ini untuk
contoh, kita memperoleh ruang pemecahan ABCDEF yang dapat di perlihatkan dalam
gambar 2-1 Untuk menemukan pemecahan optimum, kita menggerakan garis pendapatan
“ke atas” sampai ke titik dimana setiap kenaikan lebih lanjut dalam pendapatan
akan menghasilkan pemecahan yang tidak layak. Gambar 2-2 memeperlihatkan baahwa
pemecahan yang optimum berada di titik C. karenaa C adalah titik potong antara
garis 1 dan 2 , nilai garis xE dan xI di
tentukan dengan memechkan dua persamaan berikut ini secara bersamaan
xE + 2xI = 6
2xE + xI = 8
Setiap titik yang berada di
dalam atau di garis pembatasan ruang layak ABCDEF memenuhi semua batasan dan
karena itu mewakili sebuah titik yang layak. Walaupun terdapat sejumlah tak
terhingga titik layak dalam ruang pemecahan, pemecahan yang optimum dapat di tentukan dengan mengamati arah kemana
fungsi tujuan z = 3xE + 2xI meeningkat.
Gambar 2-2 mengilustrasikan hasil ini. Garis sejajar yang mewakili fungsi
tujuan digambar dengan memiliki nilai
(sembarang) yang semakin meningkat untuk z = 3xE + 2xI untuk menentukan baik
kemiringan maupun arah kemana pendapatan total (fungsi tujuan) meningkat. Dalam
gambar 2-2 kita menggunkan z = 6 dan z = 9.
Kedua persamaan tersebut
menghasilkan xE = 3 1/3 dan xI = 1 1/3 ,
jadi pemecahan tersebut menyatakan bahwa produksi harian haruslah 3 1/3 ton cat
eksterior dan 1 1/3 ton cat interior.
Penghasilan yang berkaitan
dengan nya adalah
z = 3 (3 1/3) + 2 (1/3) = 12 2/3 ribu dollar.
2.1-2ANALISIS
SENSITIVITAS : PEMBAHASAN DASAR
Analisis
sensitivitas dirancang untuk mempelajari pengaruh perubahan dalam parameter
model LP terhadap pemecahan aoptimum.Analisis ini memberikan karakteristik
dinamis pada model yang memungkinkan seorang analis untuk mempelajari perilaku
pemecahan optimum sebagai hasil dari perubahan dalam parameter model.Tujuan
akhir dari analisis ini adalah untuk memperoleh informasi tentang pemecahan
optimum yang baru dan yang dimungkinkan (yang bersesuaian dengan perubahan
dalam parameter tersebut) dengan perhitungan tambahan yang minimal.
Analisis
sensitivitas terutama sangat sesuai untuk mempelajari pengaruh variasi dalam
koefisien biaya/laba dan dalam jumlah sumber daya yang tersedia terhadap pemecahan
optimum. Walaupun perhitungan analisis sensitivitas telah dioptimisasi dalam
sebagian besar perangkat lunak OR (termasuk TORA), pemahaman mendasar tentang
bagaimana prosedur ini bekerja adalah sangat penting untuk penerapan
hasil-hasilnya secara berhasil.
3.1 FORMULASI LP
Dalam
bagian ini, kami akan menyajikan model LP dalam contoh dibawah ini yang mudah
didefinisikan. Dan dalam bab selanjutnya analisis sensitivitas akan disajikan
dengan menggunakan perangkat lunak TORA dimana penggunaan variable keputusan
adalah lebih rumit.
Contoh
:
Sebuah
lembaga keuangan,Thriftem Bank sedang berada dalam proses untuk merumuskan
sebuah kebijakan pinjaman yang melibatkan jumlah total uang sebesar $12 juta.
Sebagai bank yang memberikan pelayanan lengkap, bank memberikan jenis-jenis
pinjaman, suku bunga yang dikenakan oleh bank tersebut, dan probabilitas
pinjaman macet sebagaimana diestimasi dari pengalaman masa lalu.
|
JENIS PINJAMAN
|
SUKU BUNGA
|
PROBABILITAS PINJAMAN MACET
|
|
PRIBADI
|
0,140
|
0,10
|
|
MOBIL
|
0,130
|
0,07
|
|
RUMAH
|
0,120
|
0,03
|
|
PERTANIAN
|
0,125
|
0,05
|
|
KOMERSIAL
|
0,100
|
0,02
|
Pinjaman
macet diasumsikan tidak dapat diperoleh kembali dan karena itu tidak
menghasilkan pendapatan bunga.
Persaingan
dengan lembaga keuangan lainnya diwilayah tersebut mengharuskan bank itu untuk
mengalokasikan setidaknya 40% dari dana total untuk pinjaman pertanian dan
komersial. Untuk membantu industri perumahan diwilayah itu, pinjaman perumahan
harus setidaknya sama dengan 50% dari pinjaman pribadi, mobil, dan perumahan.
Bank tersebut juga memiliki kebijakan tertulis yang menyatakan bahwa rasio
keseluruhan untuk pinjaman macet atas semua pinjaman tidak boleh lebih besar
dari 0,04.
Pengembangan
Model Matematis
Variable
dari model ini dapat didefinisikan sebagai berikut :
X1
= pinjaman pribadi ( dalam jutaan dollar )
X2
= pinjaman mobil
X3
= pinjaman perumahan
X4
= pinjaman pertanian
X5
= pinjaman komersial
Tujuan
dari Thriftem Bank adalah memaksimumkan pengembalian bersihnya yang terdiri
dari selisih antara pendapatan dari Bunga dan dana yang terhilang akibat
pinjaman macet. Karena pinjaman macet tidak dapat diperoleh kembali, baik
pinjaman pokok maupun bunganya, fungsi tujuan dapat ditulis sebagai :
Maksimumkan
Z = 0,14(0,9x1)+0,13(0,93x2)+0,12(0,97x3)+0,125(0,95x4)+0,1(0,98x5)-0,1x1-0,07x2-0,03x3-0,05x4-0,02x5
1.
Dana
total
x1
+ x2 + x3 + x4 + x5 ≤12
2.
Pinjaman
pertanian dan komersil
x4 + x5 ≥ 0,4 × 12
3.
Pinjaman
perumahan
x3 × 0,5 (x1+x2+x3)
4.
Batas
pinjaman macet
0,06x1 + 0,03x2 + 0,01x3
+ 0,01x4 + 0,02x5 ≤ 0
5.
Non
negativitas
x1 ≥ 0,x2 ≥ 0,x3 ≥ 0,x4
≥ 0,x5 ≥ 0
4.1 FORMULASI LP TAMBAHAN
Dalam
bagian ini kamimenyajikan tiga formulasi tambahan yang dicirikan dengan
kerumitan sampai tingkat tertentu dalam hal bagaimana variabel-variabel
tersebut didevinisikan dan dipergunakan dalam model.
Contoh:
4.1-1
(Masalah Penjadwalan Bis)
Progres
City sedang mempelajari kelayakan memperkenalkan model bis transityang akan
mengatasi masalah polusi dengan mengurangi perjalanan di kota. Study awal
berusahauntuk mengurangi jumlah minimum bis yang dapat menangani kebutuhan
transportasi.
Setelah mengumpulkan
informasi yang diperlukan, para teknisi kota tersebut melihat bahwa jumlah
minimum bis yang diperlukan untuk memenuhi permintaan itu berfluktuasi dengan
waktu dalam sehari. Setelah mempelajari data tersebut lebih lanjut, menjadi
jelas bahwa jumlah bis yang diperlukan dapat diasumsikan konstan selama
interval waktu yang masing-masing 4 jam. Gambar 2-11meringkaskan teknisi
tersebut. Diputuskan bahwa untuk melakukan pemeliharaan harian yang diperlukan,
setiap bis hanya akanberoperasi selama 8 jam berturut-turut dalam satu hari.
12 
Jumlah 8
4 |
12.00 4.00
8.00
12.00 4.00 8.00 12.00
A.M Jam
dalam satuan hari
Tengah malam
Represesi
Matematis
Kebutuhan
ini menggunakan jumlah bis yang
dioperasikan selama shift yang berbeda (variabel) yang akan memenuhi permintaan minimum (batasan) sambil meminimumkan jumlah total bis harian
yang beroperasi (tujuan).
Kita
mengetahui kapan bis akan beroperasi dalam shift selama 8 jam, tetapi kita
tidak mengetahui kapan shift itu dimulai. Jika kita mengikuti jadwal tiga shift
yang normal (8.01-16.00, 16.01-24.00, dan 00.01-08.00) dan mengasumsikan bahwa
x1, x2, dan x3 adalah jumlah bis yang beroperasi di shift pertama, kedua, dan
ketiga, kita dapat melihat dari gambar 2-11 bahwa x1 ≥ 10, x2 ≥ 12, dan x3 ≥ 8,
dengan angka minimum yang bersesuaian sama dengan x1 + x2 + x3 = 10 + 12 + 8 =
30 bis per hari.
Pemecahan
ini hanya dapat diterima jika shift tersebut harus berjalan sesuai dengan
jadwal tiga shift yang normal. Tetapi, kemungkinan akan menghasilkan keuntungan
jika kita mengijinkan proses optomosasi iniuntuk memilih waktu awal “terbaik”
untuk sebuah shift. Satu cara yang wajar untuk mencapai hal ini adalah
mengijinkan sebuah shift untuk dimulai setiap 4 jam. Gambar 2-12
mengilustrasikan konsep ini dimana shift (yang bertumpang tindih) dimulai pada
pukuk 00.01, 4.01, 8.01, 12.01, 16.01, dan 20.01 dengan masing-masing shift
berlangsung selama 8 jam berturut-turut. Kita sekarang siap mendefinisikan
variabel:
X1: jumlah bis yang memulai pada pukul
00.01
X2: jumlah bis yang memulai pada pukul
4.01
X3: jumlah bis yang memulai pada pukul
8.01
X4: jumlah bis yang memulai pada pukul
12.01
X5: jumlah bis yang memulai pada pukul
16.01
X6: jumlah bis yang memulai pada pukul
20.01
Jadi,
model matematis tersebut (lihat gambar 2-12) ditulis sebagai
Minimumkan z = x1 + x2 + x3 +
x4 + x5 + x6
Dengan
batasan
x1 + x6 ≥
4 (00.01 - 4.00)
x1 + x2 ≥ 8 (4.01 - 8.00)
x2 + x3 ≥
10 (8.01 - 12.00)
x3 + x4 ≥ 7 (12.01 – 16.00)
x4
+ x5 ≥ 12
(16.01-20.00)
x5
+ x6 ≥ 4 (20.01 – 24.00)
xj
≥ 0, j = 1,2,....6
Keluaran
dari model ini dalam gambar 2-13 memperlihatkan bahwa total 26 bus diperlukan
untuk memenuhi permintaan. Jadwal yang optimum menurut x1= 4 bis untuk dimulai
pukul 00.01, x2= 10 di 4.01, x4= 8 di 12.01, dan x5= 4 di 16.01. Pengurangan
biaya semuanya adalah nol, yang menunjukan bahwa masalah ini tidak memiliki
pemecahan alternatif optimum.
Harga
dual memberikan informasi yang menarik. Harga dual sebesar 1 menyatakan bahwa
kenaikan satu unit dalam jumlah minimum bis yang diperlukan untuk periode
yanberanggkutan adalah berhubungan dengan kenaikan yang setara dengan jumlah
total bis yang beroperasi. Sebaliknya, harga dual sebesa nol menunjukkan bahwa
kenaikan dalam persyaratan minimum tidak akan menghasilkan kenaikan dalam
jumlah total bis yang beroperasi.
4.1-2 (Masalah Kerugian Pemotongan)
Pacific
Paper Company memri produksi gulungan kertas dengan lebar standar 20 kaki untuk
setiap gulung.Pesanan khusus dari para pelanggan dengan lebar yang berbeda
dihasilkan dengan memotong gulungan kertas standar tersebut.
Pesanan
yang umum (yang dapat bervariasi dari hari ke hari) diringkaskan dalam tabel
berikut ini:
|
Pesanan
|
Lebar yang diinginkan (kaki)
|
Jumlah gulungan yang diinginkan
|
|
1
|
5
|
150
|
|
2
|
7
|
200
|
|
3
|
9
|
300
|
Dalam
praktik, sebuah pesanan di penuhi dengan memasang pisau pemotong pada lebar
yang di inginkan.
20 ft 20 ft
7 ft 9 ft 4ft 5 ft
5 ft 7 ft
Susunan A Susunan B
20 ft
5 ft 5 ft 9 ft 1ft
Susunan C
Representasi
Matematis
Kita
berusaha menentukan kombinasi susunan pisau (variabel) yang akan memenuhi
pesanan yang diperlukan (batasan) dengan bidang kerugian pemotongan yang
terkecil (tujuan). Dengan mempelajari cara kita mengembangkan kedua kombinasi
tersebut, kita mencatat bahwa variabel itu harus didefinisikan sebagai jumlah
gulungan standar yang harus dipotong sesuai dengan satu susunan pisau tertentu.
4.1-3(Pemograman
Sasaran)
kami
mengilustrasikan model pemograman sasaran dengan sebuah contoh sesderhana. Dua
produk dibuat dengan dimasukkan secara berurutan kedua mesin yang berbeda.
Waktu yang tersedia untuk kedua produk tersebut dimasing-masing mesin adalah
terbatas pada 8 jam pehari, tetapi dapat dilewati sampai 4 jam atas dasar
lembur. Setiap jam lembur memerlukan biaya
tambahan sebesar $5. Laju produksi
untuk kedua produk tersebut bersamaan dengan laba per unit diringkaskan dalam
tabel berikut ini. Yang diperlukan adalah menentukan tingkat produksi untuk
masing-masing produk yang akan memaksimumkan laba bersih.
|
Mesin
|
Laju Produksi (unit/jam)
|
|
|
Produk 1
|
Produk 2
|
|
|
1
|
5
|
6
|
|
2
|
4
|
8
|
|
Laba per unit
|
$6
|
$4
|
Representasi
Matematis
Yang
diperlukan adalah menentukan jumlh unit dari sebuah produk (variabel) yang
memaksimumkan laba bersih (tujuan) dengan ketentuan bahwa jam mesin maksimum
yang diijinkan hanya dapat dilewati atas dasar lembur.
Anggaplah
Xj
= jumlah unit produk j, j = 1,2
Dengan
tidak adanya pilihan lembur, batasan model ini ditulis sebagai
x1/5 + x2/6 ≤ 8
(mesin 1)
x1/4 + x2/8 ≤ 8
(mesin 2)
untuk
mencakup pilihan lembur, kita dapat menulis ulang batasan tersebut sebagai
x1/5 + x2/6 – y1 =8
x1/4 + x2/8 -y2 =8
dimana
vriabel y1 dan y2 memiliki tanda yang tidak dibatasi karena alasan berikut ini.
Jika y1 negatif, batasan 8 jam dalam
kapasitas mesin tersebut tidak akan dilampaui dan lembur tidak dipergunakan.
Jika variabel positif, jam mesin yang
dipergunakan akan lebih besar dari batasan harian dan y1 akan mewakili jam
lembur.
Kita
dapat memperhitungkan pilihan lembur dengan menganggap bahwa y1 dapat ,memiliki
nilai yang tidak dibatasi. Kemudian, kita perlu membatasai penggunaan lembur
harian pada 4 jam dan juga mencakup biaya lembur dalam fungsi tujuan. Karena y1
hany positif ketika lembur dipergunakan, batasan
yi≤4, i= 1,2
akan
memberikan batasan yang diinginkan atas penggunaan lembur. Catat bahwa batasan
ini menjadi tidak diperlukan ketika yi < 0 (tidak ada lembur).
Kita sekarang mempertimbangkan fungsi
tujuan.sasaran kita akan memaksimum laba bersih yang sama dengan laba total
dari kedua produk dikurangi biaya
tambahan dari lembur. Ekpresi untuk laba total diketahui secara langsung
sebagai 6x1 + 4x2. Untuk memasukkan biaya lebur, kita mencatat bahwa biaya itu
hanya akan ditanggung ketika yi > 0. Jadi cara yang sesuai untuk menyatakan
biaya lembur adalah
Biaya lembur = biaya per jam x jam lembur
= 5 (max {0,yi})
Catat
bahwa max (0,yi) = 0 ketika ketika yi < 0, yang menghasilkan biaya lembur
sebesar nol sebagaimana yang diinginkan.
Model
yang lengkap jadi dapat ditulis sebagai
Maksimumkan z = 6x1 + 4x2 – 5 (max
{0,y1} + max {0,y2})
Dengan batasan
x1/5
+ x2/6 – y1 = 8
x1/4
+ x2/8 -y2= 8
yI
≤ 4
y2 ≤ 4
x1,
x2 ≥ 0
y1, y2, tidak dibatasi dengan tanda
untuk
mengkonversikan model ini menjadi model linier, kita menggunakan subtitusi
wi=
max {0,yi}
yang
adalah setara denga
wi
≥ yi
dan wi ≥ 0
karena
koefisien negatif dari wi dalam fungsi tujuan akan memaksanya memiliki nilai
non negatif yang sekecil mungkin: nol atau yi. Jadi model LP dapat ditulis
sebagai
maksimumkan z = 6x1 + 4x2 – 5 (wi +
w2)
dengan batasan
x1/5 + x2/6 – y1 =8
x1/4 + x2/8 y2 =8
y1 – wi ≤0
y2 – w2 ≤0
y1 ≤4
y2 ≤4
x1, x2, w1, w2 ≥0
yi, y2 tidak dibatasi dengan tanda
